App Serviceを停止させてもコストはかかる
App Serviceを停止させても、課金されてしまいます。理由は課金しているのは、App Service Planだからです。
課金をとめるには
課金を止めるには、App Service Planを削除するしかありません。
ただ、Planを消すとまた動かすときに、再設定などするのがかなり面倒です。
他の方法としては、コスト削減のために一時的に安いプランに変更するなどの対応をするのがよいと思います。
まとめ
App Serviceは、使っているときにだけ課金されるという従量課金という扱い方が難しいようです。
App Serviceを停止しても課金は継続されることは覚えておいた方がいいです。